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  • 设a是正数，ax+y=2（x≥0，y≥0），记y+3x-12x2的最大值是M（a），试求：（1）M（a???的表达式；（2）M（a）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      设a是正数，ax+y=2（x≥0，y≥0），记y+3x-
      1
      2
      x2的最大值是M（a），试求：
      （1）M（a???的表达式；（2）M（a）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设S（x）=y+3x-
      1
      2
      x2，将y=2-ax代入消去y，得：
      S（x）=2-ax+3x-
      1
      2
      x2
      =-
      1
      2
      x2+（3-a）x+2
      =-
      1
      2
      [x-（3-a）]2+
      1
      2
      （3-a）2+2（x≥0）
      ∵y≥0∴2-ax≥0
      而a＞0∴0≤x≤
      2
      a

      下面分三种情况求M（a）
      （i）当0＜3-a＜
      2
      a
      （a＞0），即
      {
      0＜a＜3
      a2- 3a+2＞0
      时
      解得0＜a＜1或2＜a＜3时
      M（a）=S（3-a）=
      1
      2
      （3-a）2+2
      （ii）当3-a≥
      2
      a
      （a＞0）即
      {
      a＞0
      a2- 3a+2≤0
      时，
      解得：1≤a≤2，这时
      M（a）=S（
      2
      a
      ???=2-a?+3?
      2
      a
      -
      1
      2
      ?(
      2
      a
      )2=-
      2
      a2
      +
      6
      a

      （iii）当3-a≤0；即a≥3时
      M（a）=S（0）=2
      综上所述得：
      M（a）=
      {
      1
      2
      (3-a)2+2 (0＜a＜1)
      -
      2
      a2
      +
      6
      a
      1≤a≤2
      1
      2
      (3-a)2+2 (2＜a＜3)
      2 (a≥3)


      （2）下面分情况探讨M（a）的最小值．
      当0＜a＜1或2＜a＜3时
      M（a）=
      1
      2
      （3-a）2+2＞2
      当1≤a≤2时
      M（a）=-
      2
      a2
      +
      6
      a
      =-2（
      1
      a
      -
      3
      2
      ）2+
      9
      2

      ∵1≤a≤2?
      1
      2
      ≤
      1
      a
      ≤1
      ∴当
      1
      a
      =
      1
      2
      时，M（a）取小值，即
      M（a）≥M（2）=
      5
      2

      当a≥3时，M（a）=2
      经过比较上述各类中M（a）的最小者，可得M（a）的最小值是2．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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