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已知函数，其中a＞0且a≠1．（1）求f（x）的解析式；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值???为负数，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数

，其中a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断并证明f（x）的单调性；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值???为负数，求实数a的取值范围．

试题解答

见解析

（1）令log_ax=t，∴x=a^t，代入得f（t）=

（a^t-a^-t）
即f（x）=

（a^x-a^-x），（a＞0且a≠1）．
（2）当a＞1，

＞0，f（x）在R上是增函数，x₁＜x₂，
∴f（x₁）-f（x₂）=

（

-

）-

∴f（x）在R上是增函数，当0＜a＜1时，同理可证：f（x）在R上是增函数
（3）由（2）知f（x）在R上是增函数，
???当x∈（-∞，2）时，f（x）＜f（2）=

（a²-a^-2），
∴f（2）-4=

（a²-a^-2）-4≤0，
整理得

且a＞0且a≠1．
∴a²-4a+1≤0，解得2-

≤a≤2

，且a≠1，
即[2-

，1）∪（1，2

]．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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