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  • 已知函数f(x)=1+ax2x+b（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），（1）求实数a，b的值；（2）求函数f（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=
      1+ax2
      x+b
      （a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），
      （1）求实数a，b的值；
      （2）求函数f（x）的值域．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=
      1+ax2
      x+b
      是奇函数，则f（-x）=-f（x）
      ∴
      1+a(-x)2
      -x+b
      =-
      1+ax2
      x+b
      ，
      ∵a≠0，∴-x+b=-x-b，∴b=0（3分）
      又函数f（x）的图象经过点（1，3），
      ∴f（1）=3，∴
      1+a
      1+b
      =3，∵b=0，
      ∴a=2（6分）

      （2）由（1）知f(x)=
      1+2x2
      x
      =2x+
      1
      x
      (x≠0)（7分）
      当x＞0时，2x+
      1
      x
      ≥2
      √2x?
      1
      x
      =2
      √2
      ，当且仅当2x=
      1
      x
      ，
      即x=
      √2
      2
      时取等号（10分）
      当x＜0时，(-2x)+
      1
      -x
      ≥2
      √(-2x)?
      1
      -x
      =2
      √2
      ，∴2x+
      1
      x
      ≤-2
      √2

      当且仅当(-2x)=
      1
      -x
      ，即x=-
      √2
      2
      时取等号（13分）
      综上可知函数f（x）的值域为(-∞，-2
      √2
      ]∪[2
      √2
      ，+∞)（12分）
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