在实数集R中定义一种运算“”，对任意a，b∈R，ab为唯一确定的实数，且具有性质：（1）对任意a∈R，a0=a；（2）对任意a，b∈R，ab=ab+（a0）+（b0）．关于函数f（x）=（ex）*1ex的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]．其中所有正确说法的个数为（）试题及答案-单选题-云返教育

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在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a∈R，a*0=a；
（2）对任意a，b∈R，a*b=ab+（a*0）+（b*0）．
关于函数f（x）=（e^x）*

e^x

的性质，有如下说法：
①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为偶函数；③函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0]．
其中所有正确说法的个数为（　　）

解：由定义的运算知，f（x）=）=（e^x）*

e^x

=e^x?

e^x

+e^x*0+

e^x

*0=1+e^x+

e^x

，
①f（x）=1+e^x+

e^x

≥1+2

√e^x?

e^x

=3，当且仅当e^x=

e^x

，即x=0时取等号，
∴f（x）的最大值为3，故①正确；
②∵f（-x）=1+e^-x+

e^-x

=1+

e^x

+e^x=f（x），
∴f（x）为偶函数，故②正确；
③f'（x）=e^x-

e^x

e^2x-1

e^x

，
当x≤0时，f′（x）=

e^2x-1

e^x

≤0，
∴f（x）在（-∞，0]上单调递减，故③错误．
故正确说法的个数是2，
故选C．

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