已知函数f(x)=loga1-mxx-1（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．（1）求实数m的值；（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；（3）当x∈（r，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数r与a的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1，m≠1）是奇函数．
（1）求实数m的值；
（2）判断函数f（x）在（1，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，函数f（x）的值域是（1，+∞），求实数r与a的值．

试题解答

见解析

解：（1）由已知条件得f（-x）+f（x）=0对定义域中的x均成立．
所以log_a

mx+1

-x-1

+log_a

1-mx

x-1

=0，即

mx+1

-x-1

1-mx

x-1

=1，
即m²x²-1=x²-1对定义域中的x均成立．
所以m²=1，即m=1（舍去）或m=-1．
（2）由（1）得f(x)=log_a

1+x

x-1

，
设t=

x+1

x-1

x-1+2

x-1

=1+

x-1

，
当x₁＞x₂＞1时，t₁-t₂=

x₁-1

x₂-1

2(x₂-x₁)

(x₁-1)(x₂-1)

，所以t₁＜t₂．
当a＞1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．所以当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数．
同理当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（3）因为函数f???x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
所以①：r＜a-2＜-1，0＜a＜1．
所以f（x）在（r，a-2）为增函数，要使值域为（1，+∞），则

{

log_a

1+r

r-1

a-2=-1

（无解）
②：1＜r＜a-2，所以a＞3．所以f（x）在（r，a-2）为减函数，要使f（x）的值域为（1，+∞），
则

{

r=1

log_a

a-1

a-3

，所以a=2+

√3

，r=1．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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