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已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2.(1)判断f(x)的奇偶性;(2)求证:f(x)是R上的减函数;(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;(4)若?x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求证:f(x)是R上的减函数;
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;
(4)若?x∈R,不等式f(ax
2
)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.
试题解答
见解析
(1)解:取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0,
取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
∴f(x)为奇函数.
(2)证明:任取x
1
,x
2
∈(-∞,+∞)且x
1
<x
2
,
则x
2
-x
1
>0,f(x
2
)+f(-x
1
)=f(x
2
-x
1
)<0,
∴f(x
2
)<-f(-x
1
),
又f(x)为奇函数,∴f(x
1
)>f(x
2
).
故f(x)为R上的减函数;
(3)∵f(x)为R上的减函数,
∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),
f(3)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=-6,
故f(x)在[-3,3]上最大值为6,最小值为-6.
故f(x)在区间[-3,3]上的值域为[-6,6].
(3)解:f(x)为奇函数,整理原式得f(ax
2
)+2f(-x)<f(x)+f(-2),
可得f(ax
2
-2x)<f(x-2),而f(x)在R上是减函数,
所以ax
2
-2x>x-2即ax
2
-3x+2>0恒成立,
①当a=0时不成立,
②当a≠0时,有a>0且△<0,即
{
a>0
9-8a<0
,解得a>
9
8
.
故a的取值范围为(
9
8
,+∞).
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