已知函数f(x)=a?2x+a-22x+1是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；（3）若f(x)≥k2-43k对x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在R上的单调性并用定义证明；
（3）若f(x)≥k²-

k对x∈[-1，2]恒成立，求实数k的取值范围．

见解析

解：（1）根据题意，函数f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

是定义在R上的奇函数，
则有f（0）=0，即

a+a-2

1+1

=0，解可得a=1，
即a=1；
（2）由（1）得a=1，则f（x）=

2^x-1

2^x+1

=1-

2^x+1

，
设x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=（1-

2^x₁+1

）-（1-

2^x₂+1

）=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1)(2^x₂+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
则f（x）在R上为增函数．
（3）由（2）可得，f（x）在[-1，2]上为增函数，
则f（x）在[-1，2]上的最小值为f（-1）=-

，
又由f(x)≥k²-

k对x∈[-1，2]恒成立，
则-

≥k²-

k，
即3k²-4k+1≤0，解可得

≤k≤1，
故实数k的取值范围是[

，1]．

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