已知函数f（x）=x1+x2，x∈（-1，1）（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；（3）求使f（1-m）+f（1-m2）＜0成立的实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f（x）=

1+x²

，x∈（-1，1）
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（2）判断函数f（x）的单调性，并证明；
（3）求使f（1-m）+f（1-m²）＜0成立的实数m的取值范围．

见解析

解：（1）f（x）为奇函数．
证明：由于函数的定义域为（-1，1），关于原点对称，且满足f(-x)=

-x

1+x²

=-f(x)，
∴f（x）为奇函数．…（3分）
（2）函数f（x）在（-1，1）上单调递增，
证明：当-1＜x＜1时，f′（x）=

1-x²

(1+x²)²

＞0，
故函数f（x）在（-1，1）上单调递增． …（8分）
（3）由f（1-m）+f（1-m²）＜0可得f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴

{	-1＜1-m＜1 -1＜m²-1＜1 1-m＜m²-1

，解得 1＜m＜

√2

． …（12分）

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