一个多面体的三视图和直观图如下：（1）求证：MN∥平面CDEF；（2）求证：MN⊥AH；（3）求多面体A-CDEF的体积．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

一个多面体的三视图和直观图如下：
（1）求证：MN∥平面CDEF；
（2）求证：MN⊥AH；
（3）求多面体A-CDEF的体积．

试题解答

见解析

由三视图知，该多面体是底面为等腰???角三角形的直三棱柱，侧面ABCD和侧面ABFE为边长为2的正方形．如图，
（1）在正方形ABFE中，
连接BE，则BE与AF交于中点M，
连接EC，在△BEC中，M，N分别是BE，BC的中点，
故中位线MN∥EC，
而MN?面CDEF，EC?面CDEF
∴MN∥面CDEF．
（2）∵△ADE为等腰直角三角形，且H为斜边DE的中点，
∴AH⊥DE ①
又因为该多面体是直三棱柱，故侧棱EF⊥面ADE，而AH?面ADE，
故AH⊥EF ②
综合①②，且DE∩EF=E，DE?面DCFE，EF?面DCFE，
∴AH⊥面DCFE，而EC?面DCFE
∴AH⊥EC，
由（1）可知，MN∥EC，
∴AH⊥MN
（3）由（2）可知AH⊥面DCFE，所以AH为四棱锥A-CDEF的高，且AH=