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  • 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED???（Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为√63，求该三棱锥的侧面积．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．
      （Ⅰ）证明：平面AEC⊥平面BED???
      （Ⅱ）若∠ABC=120°，AE⊥EC，三棱锥E-ACD的体积为
      √6
      3
      ，求该三棱锥的侧面积．

      试题解答

      见解析
      证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，
      ∴AC⊥BD，
      ∵BE⊥平面ABCD，
      ∴AC⊥BE，
      则AC⊥平面BED，
      ∵AC?平面AEC，
      ∴平面AEC⊥平面BED；
      解：（Ⅱ）设AB=x，在菱形ABCD中，由∠ABC=120°，得AG=GC=
      √3
      2
      x，GB=GD=
      x
      2
      ，
      ∵AE⊥EC，△EBG为直角三角形，
      ∴BE=
      √2
      2
      x，
      ∵三棱锥E-ACD的体积V=
      1
      3
      ×
      1
      2
      AC?GD?BE=
      √6
      24
      x3=
      √6
      3
      ，
      解得x=2，即AB=2，
      ∵∠ABC=120°，
      ∴AC      2=AB2+BC2-2AB?BCcosABC=4+4-2×2×2×(-
      1
      2
      )=12，
      即AC=
      √12
      =2
      √3
      ，
      在三个直角三角形EBA，EBG，EBC中，斜边AE=EC=ED，
      ∵AE⊥EC，∴△EAC为等腰三角形，
      则AE      2+EC2=AC2=12，
      即2AE      2=12，
      ∴AE      2=6，
      则AE=
      √6
      ，
      ∴从而得AE=EC=ED=
      √6
      ，
      ∴△EAC的面积S=
      1
      2
      ×EA?EC=
      1
      2
      ×
      √6
      ×
      √6
      =3，
      在等腰三角形EAD中，过E作EF⊥AD于F，
      则AE=
      √6
      ，AF=
      1
      2
      AD=
      1
      2
      ×2=1，
      则EF=
      √(
      √6
      )2-12
      =
      √5
      ，
      ∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S=
      1
      2
      ×2×
      √5
      =
      √5
      ，
      故该三棱锥的侧面积为3+2
      √5
      ．
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      必修3湘教版解答题高中数学

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