设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．（1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率；（2）求弦AB的长超过圆半径的概率．试题及答案-解答题-云返教育

试题详情

设点A为半径是1的圆O上一定点，在圆周上等可能地任取一点B．
（1）求弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率；
（2）求弦AB的长超过圆半径的概率．

见解析

(1)设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，则???满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分,這樣可得出劣弧CD的長占整個圓周長的

.
(2) 以圆的半径OA为边长作出两正三角形AOC和AOD，如图所示，

则AC=AD=圆的半径OA，所以满足题意的点B只能落在优弧CD上,然后求出对应的角

,从而可求出优弧CD的对应的圆心角,进而得到优弧CD的长,其概率等于

.
解：（1）设“弦AB的长超过圆内接正三角形边长”为事件M，以点A为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD，如右图所示，

则要满足题意点B只能落在劣弧CD上，又圆内接正三角形ACD恰好将圆周3等分，故

． ……6分
答：弦AB的长超过圆内接正三角形边长的概率为

．
（2）设“弦AB的长超过圆的半径”为事件N，
以圆的半径OA为边长作出两正三角形AOC和AOD，如图所示，

则AC=AD=圆的半径OA，所以满足题意的点B只能落在优弧CD上，
又

，故劣弧CD的长为

，即优弧CD的长为

所以

．
答：弦AB的长超过圆的半径的概率是

． ……12分

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