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数列{bn}(n∈N*)是递增的等比数列,且b1+b3=5,b1b3=4.(Ⅰ)求数列{bn}的通项公式;(Ⅱ)若an=log2bn+3,求证数列{an}是等差数列;(Ⅲ)若a1+a2+a3+…+am≤a40,求m的最大值.试题及答案-解答题-云返教育
试题详情
数列{b
n
}(n∈N
*
)是递增的等比数列,且b
1
+b
3
=5,b
1
b
3
=4.
(Ⅰ)求数列{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若a
n
=log
2
b
n
+3,求证数列{a
n
}是等差数列;
(Ⅲ)若a
1
+a
2
+a
3
+…+a
m
≤a
40
,求m的最大值.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)由
{
b
1
b
3
=4
b
1
+b
3
=5
,知b
1
,b
3
是方程x
2
-5x+4=0的两根,
注意到b
n+1
>b
n
,得b
1
=1,b
3
=4.(2分)
∴b
2
2
=b
1
b
3
=4,?b
2
=2.
∴b
1
=1,b
2
=2,b
3
=4
∴等比数列.{b
n
}的公比为
b
2
b
1
=2,
∴b
n
=b
1
q
n-1
=2
n-1
(4分)
(Ⅱ)a
n
=log
2
b
n
+3=log
2
2
n-1
+3=n-1+3=n+2(5分)
∴a
n+1
-a
n
=[(n+1)+2]-[n+2]=1(7分)
∴数列{a
n
}是首项为3,公差为1的等差数列.(8分)
(Ⅲ)由(Ⅱ)知数列{a
n
}是首项为3,公差为1的等差数列
∴a
1
+a
2
+a
3
++a
m
=m×3+
m(m-1)
2
×1=3m+
m
2
-m
2
(10分)
又a
40
=42
由a
1
+a
2
+a
3
++a
m
≤a
40
,得3m+
m
2
-m
2
≤42
整理得m
2
+5m-84≤0,解得-12≤m≤7.
∴m的最大值是7.(12分)
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