已知二次函数f（x）=ax2+bx+c．（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）有两个零点；（2）若x1，x2∈R，x1＜x2，f（x1）≠f（x2），证明方程f(x)-12[f(x1)+f(x2)]=0在区间（x1，x2）内有一个实根．试题及答案-解答题-云返教育

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已知二次函数f（x）=ax²+bx+c．
（1）若a＞b＞c，且f（1）=0，证明f（x）有两个零点；
（2）若x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，f（x₁）≠f（x₂），证明方程f(x)-

[f(x₁)+f(x₂)]=0在区间（x₁，x₂）内有一个实根．

见解析

证明：（1）∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
又∵a＞b＞c，∴3a＞a+b+c＞3c，即a＞0＞c．
∴a＞0，c＜0，即ac＜0，
∴△=b²-4ac≥-4ac＞0，
∴方程ax²+bx+c=0有两个不等实根，∴f（x）有两个零点．
（2）设g(x)=f(x)-

[f(x₁)+f(x₂]，
则g(x₁)=f(x₁)-

[f(x₁)+f(x₂)]=

[f(x₁)-f(x₂)]，
g(x₂)=f(x₂)-

[f(x₁)+f(x₂)]=

[f(x₂)-f(x₁)]，
g(x₁)?g(x₂)=

[f(x₁)-f(x₂)]?

[f(x₂)-f(x₁)]=-

[f(x₁)-f(x₂)]²，
∵f（x₁）≠f（x₂），∴g（x₁）?g（x₂）＜0，
又函数g（x）在区间[x₁，x₂]上的图象是连续不断的一条曲线，由函数零点的判定定理可得：
g（x）=0在（x₁，x₂）内有一个实根．

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