已知函数f（x）=x2-4x+a+3．（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；（2）若函数y=f（x），x∈[t，4]的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．试题及答案-单选题-云返教育

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已知函数f（x）=x²-4x+a+3．
（1）若方程f（x）=0在[-1，1]上有实数根，求实数a的取值范围；
（2）若函数y=f（x），x∈[t，4]的值域为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为7-2t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由（注：区间[p，q]的长度为q-p）．

见解析

解：（1）∵f（x）=x²-4x+a+3；
∴f（x）的对称轴是 x=2；
∴f（x）在[-1，1]上是单调减函数；
∵f（x）=0在[-1，1]上有实数根；
∴

{	f(-1)＞0 f(1)＜0

；
即

{	1+4+a+3＞0 1-4+a+3＜0

；
解得-8＜a＜0；
∴a的取值范围是（-8，0）．
（2）∵f（x）=x²-4x+a+3图象的对称轴是 x=2，
当t≤2时，f（x）在[t，4]的最小值是f（2）=a-1，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（a-1）=4，
令7-2t=4，解得t=

，满足条件；
当2＜t＜4时，f（x）在[t，4]的最小值是f（t）=t²-4t+a+3，最大值是f（4）=a+3，
∴值域是[a-1，a+3]；区间长度为（a+3）-（t²-4t+a+3）=-t²+4t，
令7-2t=-t²+4t，解得t=3+

√2

，或t=3-

√2

，不满足条件；
综上，当t=

时，满足题目中的条件．

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