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  • 定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：（1）对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)；（2）对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0．若P=f(15)+f(111)+…+f(1r2+r-1)+…+f(120122+2012-1)，Q=f(12)，R=f（0），则P、Q、R的大小关系为（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
      （1）对任意x，y∈（-1，1），都有f(x)-f(y)=f(
      x-y
      1-xy
      )；
      （2）对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0．
      若P=f(
      1
      5
      )+f(
      1
      11
      )+…+f(
      1
      r2+r-1
      )+…+f(
      1
      20122+2012-1
      )，Q=f(
      1
      2
      )，R=f（0），则P、Q、R的大小关系为（　　）

      试题解答

      D
      解：∵x∈（-1，1），f(x)-f(y)=f(
      x-y
      1-xy
      )，
      ∴f（0）-f（0）=f（
      0-0
      1-0
      ）=f（0），解得f（0）=0，即 R=f（0）=0．
      f（0）-f（x）=f（
      0-x
      1-0
      ）=f（-x），解得f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函数．
      ∵对任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0，故当x∈（0，1）时，都有f（x）＜0，Q=f(
      1
      2
      )＜0．
      令-1＜x＜y＜1，f(x)-f(y)=f(
      x-y
      1-xy
      )，∵x-y＜0，1-xy＞0，∴
      x-y
      1-xy
      ＜0．
      又
      x-y
      1-xy
      +1=
      x-y+1-xy
      1-xy
      =
      (1+x)(1-y)
      1-xy
      ，∵1+x＞0，1-y＞0，1-xy＞0，∴
      x-y
      1-xy
      ＞-1，
      ∴f(x)-f(y)=f(
      x-y
      1-xy
      )＞0，∴f（x）在（-1，1）上为单调递减，
      从而可得f（
      1
      2
      ）＜f(
      1
      5
      )＜f(
      1
      11
      )＜…＜f(
      1
      r2+r-1
      )＜…＜f(
      1
      20122+2012-1
      )＜0，
      故P=f(
      1
      5
      )+f(
      1
      11
      )+…+f(
      1
      r2+r-1
      )+…+f(
      1
      20122+2012-1
      )＜0．
      由于f(
      1
      r2+r-1
      )=f（
      1
      r(r+1)-1
      ）=f（
      1
      r
      +
      -1
      r+1
      1+
      1
      r
      ?
      1
      r+1
      ）=f（
      1
      r
      ）+f（
      -1
      r+1
      ）=f（
      1
      r
      ）-f（
      1
      r+1
      ），
      ∴P=f(
      1
      5
      )+f(
      1
      11
      )+…+f(
      1
      r2+r-1
      )+…+f(
      1
      20122+2012-1
      )=f(
      1
      2
      )-f(
      1
      3
      )+f(
      1
      3
      )-f(
      1
      4
      )+f(
      1
      4
      )-f(
      1
      5
      )+…+f(
      1
      2012
      )-f(
      1
      2013
      )
      =f(
      1
      2
      )-f(
      1
      2013
      )．
      由于f（
      1
      2013
      ）＜0，∴P=f(
      1
      2
      )-f(
      1
      2013
      )＞f（
      1
      2
      ）．
      综上可得，Q＜P＜R，
      故选D．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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