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已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1.(1)若不等式f(x)>bg(x)对任意的实数x恒成立,求实数b的取值范围;(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m2,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数m的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
,g(x)=x-1.
(1)若不等式f(x)>bg(x)对任意的实数x恒成立,求实数b的取值范围;
(2)设F(x)=f(x)-mg(x)+1-m-m
2
,且|F(x)|在[0,1]上单调递增,求实数m的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)∵f(x)=x
2
,g(x)=x-1.
∴若不等式f(x)>bg(x)对任意的实数x恒成立,
等价为x
2
-bx+b>0恒成立,
∴△=b
2
-4b<0,
解得0<b<4,
∴实数b的取值范围是(0,4);
(2)由题设得F(x)=x
2
-mx+1-m
2
,
对称轴方程为x=
m
2
,△=m
2
-4(1-m
2
)=5m
2
-4,
由于|F(x)|在[0,1]上单调递增,则有:
①当△≤0,即-
2
√
5
5
≤m≤
2
√
5
5
时,有
{
m
2
≤0
-
2
√
5
5
≤m≤
2
√
5
5
,
解得-
2
√
5
5
≤m≤0,
②当△>0,即m<-
2
√
5
5
或m>
2
√
5
5
时,
设方程F(x)=0的根为x
1
,x
2
(x
1
<x
2
),
若m>
2
√
5
5
,则
m
2
>
√
5
5
,
有
{
m
2
≥1
x
1
<0
F(0)=1-m
2
<0
,
解得m≥2;
若m<-
2
√
5
5
,即
m
2
<-
√
5
5
,
有x
1
<0,x
2
≤0;
得F(0)=1-m
2
≥0,
即-1≤m≤1,
∴-1≤m<-
2
√
5
5
,
综上所述,实数m的取值范围是[-1,0]∪[2,+∞).
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