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  • 已知函数f（x）=x|x-a|-2，a∈R（1）当a=3时，解不等式f（x）＜|x-2|；（2）当x∈（0，2]时，不等式f(x)＜1-12x2恒成立，求实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x-a|-2，a∈R
      （1）当a=3时，解不等式f（x）＜|x-2|；
      （2）当x∈（0，2]时，不等式f(x)＜1-
      1
      2
      x2恒成立，求实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）a=3时，f（x）＜|x-2|?x|x-3|-2＜|x-2|等价于
      {
      x＜2
      x (3-x)-2＜2-x
      或
      {
      2≤x＜3
      x (3-x)-2＜x-2
      或
      {
      x≥3
      x (x-3)-2＜x-2
      （3分）
      解得x＜2或2＜x＜3或3≤x＜4
      即原不等式的解集为{x|x＜2或2＜x＜4}（6分）
      （2）f(x)＜1-
      1
      2
      x2?x|x-a| ＜3-
      1
      2
      x2?|a-x| ＜
      3
      x
      -
      1
      2
      x（7分）?
      1
      2
      x-
      3
      x
      ＜a-x＜
      3
      x
      -
      1
      2
      x?
      3
      2
      x-
      3
      x
      ＜a＜
      3
      x
      +
      1
      2
      x，在x∈（0，2]恒成立 （9分）
      令g(x)=
      3
      2
      x-
      3
      x
      ，h(x)=
      3
      x
      +
      1
      2
      x，x∈（0，2]
      则只需g（x）      max＜a＜h（x）min
      ∵g(x)=
      3
      2
      x-
      3
      x
      在（0，2]上单调递增
      ∴g(x)      max=g(2)=
      3
      2
      （10分）
      又h(x)=
      3
      x
      +
      1
      2
      x在（0，2]上是减函数
      ∴h(x)      min=h(2)=
      5
      2
      （11分）
      ∴实数a的取值范围是（
      3
      2
      ，
      5
      2
      ）（12分）
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