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  • 已知函数：f(x)=x+1-aa-x(a∈R且x≠a)．（1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；（2）当f（x）的定义域为[a+12，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；（3）（理）设函数g（x）=x2+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．（4）（文）设函数g（x）=x2+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数：f(x)=
      x+1-a
      a-x
      (a∈R且x≠a)．
      （1）证明：f（x）+2+f（2a-x）=0对定义域内的所有x都成立；
      （2）当f（x）的定义域为[a+
      1
      2
      ，a+1]时，求证：f（x）的值域为[-3，-2]；
      （3）（理）设函数g（x）=x      2+|（x-a）f（x）|，求g（x）的最小值．
      （4）（文）设函数g（x）=x      2+（x-a）f（x），其中x≤a-1，求g（x）的最小值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f(x)+2+f(2a-x)=
      x+1-a
      a-x
      +2+
      2a-x+1-a
      a-2a+x

      =
      x+1-a
      a-x
      +2+
      a-x+1
      x-a
      =
      x+1-a+2a-2x-a+x-1
      a-x
      =0
      ∴结论成立
      （2）f(x)=
      -(a-x)+1
      a-x
      =-1+
      1
      a-x

      当a+
      1
      2
      ≤x≤a+1时，-a-1≤-x≤-a-
      1
      2
      ，-1≤a-x≤-
      1
      2
      ，-2≤
      1
      a-x
      ≤-1，
      ∴-3≤-1+
      1
      a-x
      ≤-2 即f（x）值域为[-3，-2]．
      （3）（理）g（x）=x      2+|x+1-a|（x≠a）
      ①当x≥a-1且x≠a时，g(x)=x      2+x+1-a=(x+
      1
      2
      )2+
      3
      4
      -a．
      如果a-1≥-
      1
      2
      即a≥
      1
      2
      时，则函数在[a-1，a）和（a，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（a-1）=（a-1）2
      如果a-1＜-
      1
      2
      即当a＜
      1
      2
      且a≠-
      1
      2
      时，g(x)min=g(-
      1
      2
      )=
      3
      4
      -a．当a=-
      1
      2
      时，g（x）最小值不存在．
      ②当x≤a-1时g(x)=x      2-x-1+a=(x-
      1
      2
      )2+a-
      5
      4
      ，
      如果a-1＞
      1
      2
      即a＞
      3
      2
      时g(x)min=g(
      1
      2
      )=a-
      5
      4
      ．
      如果a-1≤
      1
      2
      即a≤
      3
      2
      时，g(x)在(-∞，a-1)上为减函数g(x)min=g(a-1)=(a-1)2．
      当a＞
      3
      2
      时，(a-1)2-(a-
      5
      4
      )=(a-
      3
      2
      )2＞0.当a＜
      1
      2
      时，(a-1)2-(
      3
      4
      -a)=(a-
      1
      2
      )2＞0．
      综合得：当a＜
      1
      2
      且a≠-
      1
      2
      时，g（x）最小值是
      3
      4
      -a；当
      1
      2
      ≤a≤
      3
      2
      时，g（x）最小值是（a-1）2；当a＞
      3
      2
      时，g（x）最小值为a-
      5
      4
      ；当a=-
      1
      2
      时，g（x）最小值不存在．
      （文）同②
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