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  • 函数f(x)=12x2- (a+b)√x2+1+92，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R），集合A={x|12x2-3√x2+1+92≤0}，（1）求集合A；（2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；（3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f(x)=
      1
      2
      x2- (a+b)
      √x2+1
      +
      9
      2
      ，g（x）=ax2-b（a、b、x∈R），集合A={x|
      1
      2
      x2-3
      √x2+1
      +
      9
      2
      ≤0}，
      （1）求集合A；
      （2）如果b=0，对任意x∈A时，f（x）≥0恒成立，求实数a的范围；
      （3）如果b＞0，当“f（x）≥0对任意x∈A恒成立”与“g（x）≤0在x∈A内必有解”同时成立时，求a的最大值．

      试题解答

      见解析
      解：（1）令
      √x2+1
      =t≥1，则x2=t2-1，
      f（x）≤0，即
      1
      2
      x2-3
      √x2+1
      +
      9
      2
      ≤0，即t2-6t+8≤0，（t-2）（t-4）≤0
      ∴2≤t≤4，所以2≤
      √x2+1
      ≤4，所以x∈[-
      √15
      ，-
      √3
      ]∪[
      √3
      ，
      √15
      ]，
      即A=[-
      √15
      ，-
      √3
      ]∪[
      √3
      ，
      √15
      ]；
      （2）f（x）≥0恒成立也就是
      1
      2
      x2- a
      √x2+1
      +
      9
      2
      ≥0恒成立，
      即
      1
      2
      x2+
      9
      2
      ≥ a
      √x2+1
      ，
      ∵
      √x2+1
      ≥1，∴a≤
      1
      2
      x2+
      9
      2
      √x2+1
      ，
      令
      √x2+1
      =t，则t∈[2，4]，则y=
      t2+8
      2t
      =
      1
      2
      (t+
      8
      t
      )，∴a≤y恒成立，∴a≤ymin，
      由导数可知，当t=2
      √2
      时，ymin=
      1
      2
      ×2
      √8
      =2
      √2
      ，
      ∴a≤2
      √2

      （3）对任意x∈A，f（x）≥0恒成立，∴a+b≤
      1
      2
      x2+
      9
      2
      √x2+1
      =
      1
      2
      x2+9
      √x2+1
      ，
      由（2）可知a+b≤2
      √2
      ①，
      由g（x）=ax      2-b≤0有解，ax2-b≤0有解，即a≤(
      b
      x2
      )max，
      ∵b＞0，∴a≤      (
      b
      x2
      )max=
      b
      3
      ，
      ∴3a-b≤0 ②
      ①+②可得a≤
      √2
      2

      所以a的最大值为
      √2
      2
      ，此时b=
      3
      √2
      2
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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