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若关于x的不等式x2+12x-（12）n≥0（n∈N*），（Ⅰ）求当n=1时，求不等式x2+12x-（12）n≥0的解集；（Ⅱ）当x∈（-∞，λ]时恒成立，求实数λ的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

若关于x的不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0（n∈N^*），
（Ⅰ）求当n=1时，求不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0的解集；
（Ⅱ）当x∈（-∞，λ]时恒成立，求实数λ的取值范围．

试题解答

见解析

解：（Ⅰ）当n=1时，不等式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0等价为x²+

1

2

x-

1

2

≥0，
即（x-

1

2

）（x+1）≥0，
解得x≥

1

2

或x≤-1，
即不等式的解集为{x|x≥

1

2

或x≤-1}；
（Ⅱ）由式x²+

1

2

x-（

1

2

）ⁿ≥0得式x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ，
即x²+

1

2

x≥（

1

2

）ⁿ_max恒成立，
∵（

1

2

）ⁿ_max=

1

2

，
即x²+

1

2

x≥

1

2

在x∈（-∞，λ]时恒成立，
设f（x）=x²+

1

2

x=（x+

1

4

）²-

1

16

，对称轴x=-

1

4

，
当x≤-

1

4

时，函数单调递减，要使不等式恒成立，
则有λ²+

1

2

λ≥

1

2

，
解得λ≤-1，
当x＞-

1

4

时，
左边的最小值在x=-

1

4

处取得，
此时x²+

1

2

x=

1

16

-

1

8

=-

1

16

不成立，
综实数λ的取值范围是λ≤-1．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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