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  • 已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＜0，且f（x?y）=f（x）+f（y）．（Ⅰ）证明f（x）在定义域上是减函数；（Ⅱ）如果f(√33)=1，求满足不等式f(x)-f(1x-2)≥-2的x的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），当x＞1时，f（x）＜0，且f（x?y）=f（x）+f（y）．
      （Ⅰ）证明f（x）在定义域上是减函数；
      （Ⅱ）如果f(
      √3
      3
      )=1，求满足不等式f(x)-f(
      1
      x-2
      )≥-2的x的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（Ⅰ）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
      则
      x2
      x1
      ＞1，∴f(
      x2
      x1
      )＜0.（2分）
      又f（x?y）=f（x）+f（y），
      ∴f(x      1)+f(
      x2
      x1
      )=f(x2)，∴f(x2)-f(x1)=f(
      x2
      x1
      )＜0，（4分）
      ∴f（x      2）＜f（x1），∴f（x）在定义域内是减函数．（6分）
      （Ⅱ）由已知f（x?y）=f（x）+f（y），
      可得∴2f(
      √3
      3
      )=f(
      √3
      3
      )+f(
      √3
      3
      )=f(
      1
      3
      )=2．（8分）f(x)-f(
      1
      x-2
      )≥-2，
      ∴f(x)+2=f(x)+f(
      1
      3
      )=f(
      x
      3
      )≥f(
      1
      x-2
      )，（10分）
      ∵f（x）在定义域内是减函数，
      ∴
      {
      1
      3
      x≤
      1
      x-2
      x＞0
      x-2＞0
      ∴2＜x≤3.（12分）
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