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  • 定义域为R的函数y=f（x）满足：①f(x+π2)=-f(x)；②函数在[π12，7π12]的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[π12，7π12]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．（1）求m的值；（2）若f(π3+x)=-f(π3-x)，并且f(π4sinx+π3)＞0求满足条件的x的集合；（3）设y=g（x）=2cos2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      定义域为R的函数y=f（x）满足：
      ①f(x+
      π
      2
      )=-f(x)；
      ②函数在[
      π
      12
      ，
      7π
      12
      ]的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[
      π
      12
      ，
      7π
      12
      ]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
      （1）求m的值；
      （2）若f(
      π
      3
      +x)=-f(
      π
      3
      -x)，并且f(
      π
      4
      sinx+
      π
      3
      )＞0求满足条件的x的集合；
      （3）设y=g（x）=2cos      2x+sinx+m+2，若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应，求集合M．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵f(x+
      π
      2
      )=-f(x)；∴f（x+π）=f（x），f（x）是以T=π的周期函数
      而函数在[
      π
      12
      ，
      7π
      12
      ]的值域为[m，2]，并且?x1，x2∈[
      π
      12
      ，
      7π
      12
      ]，当x1＜x2时恒有f（x1）＜f（x2）．
      ∴函数f（x）在[
      π
      12
      ，
      7π
      12
      ]上单调递增，而f(x+
      π
      2
      )=-f(x)，∴m=-2
      （2）∵f(
      π
      3
      +x)=-f(
      π
      3
      -x)，∴f（x）的图象关于点（
      π
      3
      ，0）对称
      ∵f(
      π
      4
      sinx+
      π
      3
      )＞0
      ∴
      π
      3
      +kπ＜
      π
      4
      sinx+
      π
      3
      ＜
      5π
      6
      +kπ，而
      π
      12
      ≤
      π
      4
      sinx+
      π
      3
      ≤
      7π
      12

      则
      π
      3
      ＜
      π
      4
      sinx+
      π
      3
      ≤
      7π
      12

      ∴0＜sinx≤1即满足条件的x的集合为{x|2kπ＜x＜π+2kπ，k∈Z}
      （3）∵y=g（x）=2cos      2x+sinx
      ∴y=g（x）=-2sin      2x+sinx+2
      令sinx=t∈（0，1）则y=-2t      2+t+2
      若对于y在集合M中的每一个值，x在区间（0，π）上恰有两个不同的值与之对应转化成h（t）=-2t      2+t+2-y=0在（0，1）上只有一解
      ∴h（1）?h（0）=（1-y）（2-y）＜0
      解得1＜y＜2
      ∴集合M={y|1＜y＜2}．
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