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已知函数y=f(x)的定义域为R+,对任意x,y∈R+,有恒等式f(xy)=f(x)+f(y);且当x>1时,f(x)<0.(1)求f(1)的值;(2)求证:当x∈R+时,恒有f(1x)=-f(x);(3)求证:f(x)在(0,+∞)上为减函数;(4)由上一小题知:f(x)是(0,+∞)上的减函数,因而f(x)的反函数f-1(x)存在,试根据已知恒等式猜想f-1(x)具有的性质,并给出证明.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数y=f(x)的定义域为R
+
,对任意x,y∈R
+
,有恒等式f(xy)=f(x)+f(y);且当x>1时,f(x)<0.
(1)求f(1)的值;
(2)求证:当x∈R
+
时,恒有f(
1
x
)=-f(x);
(3)求证:f(x)在(0,+∞)上为减函数;
(4)由上一小题知:f(x)是(0,+∞)上的减函数,因而f(x)的反函数f
-1
(x)存在,试根据已知恒等式猜想f
-1
(x)具有的性质,并给出证明.
试题解答
见解析
解:(1)令x=y=1,则f(1)=2f(1),∴f(1)=0
(2)证明:令y=
1
x
,则f(1)=f(x)+f(
1
x
),∴f(
1
x
)=-f(x)
(3)证明:设任意x,y∈R
+
,且x<y,
y
x
=a>1
则f(x)-f(y)=f(x)-f(x?a)=f(x)-f(x)-f(a)=-f(a)
∵当x>1时,f(x)<0
∴f(a)<0,-f(a)>0
∴f(x)>f(y)
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数
(4)猜想f
-1
(x)具有的性质,f
-1
(0)=1
证明:因为原函数与反函数关于直线y=x对称,
∵f(1)=0
∴f
-1
(0)=1
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