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  • 已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．（1）求证：f（x）是偶函数；（2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）解不等式f（2x2-1）＜2．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1．
      （1）求证：f（x）是偶函数；
      （2）f（x）在（0，+∞）上是增函数；
      （3）解不等式f（2x      2-1）＜2．

      试题解答

      见解析
      解：（1）由题意知，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1?x2）=f（x1）+f（x2），
      令x      1=x2=-1，代入上式解得f（-1）=0，
      令x      1=-1，x2=x代入上式，∴f（-x）=f（-1?x）=f（-1）+f（x）=f（x），
      ∴f（x）是偶函数．
      （2）设x      2＞x1＞0，则f(x2)-f(x1)=f(x1?
      x2
      x1
      )-f(x1)=f(x1)+f(
      x2
      x1
      )-f(x1)=f(
      x2
      x1
      )
      ∵x      2＞x1＞0，∴
      x2
      x1
      ＞1，∴f(
      x2
      x1
      )＞0，
      即f（x      2）-f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）
      ∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
      （3）∵f（2）=1，∴f（4）=f（2）+f（2）=2，
      ∵f（x）是偶函数，∴不等式f（2x      2-1）＜2可化为f（|2x2-1|）＜f（4），
      又∵函数在（0，+∞）上是增函数，∴|2x      2-1|＜4，且2x2-1≠0，
      即-4＜2x      2-1＜4，且2x2≠1解得：-
      √10
      2
      ＜x＜
      √10
      2
      ，且x≠±
      √2
      2
      ，
      即不等式的解集为{x|-
      √10
      2
      ＜x＜
      √10
      2
      ，且x≠±
      √2
      2
      }．
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