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已知a>0且a≠1,f(x)=aa2-1(ax-a-x)(x∈R)(1)判断f(x)的奇偶性并证明;(2)判断f(x)的单调性并证明;(3)对于f(x),当x∈(-1,1)时f(1-m)+f(1-m2)<0,求m的集合M.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知a>0且a≠1,f(x)=
a
a
2
-1
(a
x
-a
-x
)(x∈R)
(1)判断f(x)的奇偶性并证明;
(2)判断f(x)的单调性并证明;
(3)对于f(x),当x∈(-1,1)时f(1-m)+f(1-m
2
)<0,求m的集合M.
试题解答
见解析
解:(1)f(x)为奇函数.
∵f(x)定义域为R,关于原点对称,
又f(-x)=
a
a
2
-1
(a
-x
-a
x
)=-f(x),
∴f(x)为奇函数;
(2)任取x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,
则f(x
1
)-f(x
2
)=
a
a
2
-1
(a
x
1
-a
-x
1
)-
a
a
2
-1
(
a
x
2
-a
-x
2
)=
a
a
2
-1
?
(a
x
1
-a
x
2
)(a
x
1
+x
2
+1)
a
x
1
+x
2
,
①当a>1时,
a
a
2
-1
>0,又x
1
0,
a
x
1
+x
2
+1>0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
故f(x)为增函数;
②当0<a<1时,
a
a
2
-1
<0,当x
1
0,
a
x
1
+x
2
+1>0,
所以f(x
1
)-f(x
2
)<0,即f(x
1
)<f(x
2
),
故f(x)也为增函数,
综上f(x)为增函数;
(3)∵f(x)是奇函数且在R上是增函数,
∴f(1-m)+f(1-m
2
)<0?f(1-m)<-f(1-m
2
)=f(m
2
-1),
又x∈(-1,1),∴
{
-1<1-m<1
-1<m
2
-1<1
1-m<m
2
-1
,解得1<m<
√
2
,
故M={m|1<m<
√
2
}.
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单选题
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
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函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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