设函数f（x）=1+4x2x．（1）判断f（x）的奇偶性．（2）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上单调递增．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=

1+4^x

2^x

．
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）用定义法证明f（x）在（0，+∞）上单调递增．

见解析

解：（1）∵函数f（x）的定义域为R，关于原点对称．
∴f（-x）=

1+4^-x

2^-x

(1+4^-x)?4^x

2^-x?4^x

1+4^x

2^x

=f（x），所以f（x）为偶函数．
（2）设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）-f（x₂）=

1+4^x₁

2^x₁

1+4^x₂

2^x₂

(1+4^x₁)2^x₂-(1+4^x₂)2^x₁

2^x₁?2^x₂

(2^x₂-2^x₁)+(4^x₁?2^x₂-4^x₂?2^x₁)

2^x₁?2^x₂

(2^x₂-2^x₁)+2^x₁?2^x₂(2^x₁-2^x₂)

2^x₁?2^x₂

(2^x₂-2^x₁)(1-2^x₁+x₂)

2^x₁?2^x₂

，
由于x₁＞x₂＞0，所以2^x₂-2^x₁＜0；1-2^x₁+x₂＜0，
所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．

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