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已知函数f(x)=x2+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2).(1)写出一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x),使f(x)=g(x)+h(x);(2)对(1)中的g(x).命题P:函数f(x)在区间[(a+1)2,+∞)上是增函数;命题Q:函数g(x)是减函数;如果命题P、Q有且仅有一个是真命题,求a的取值范围;(3)在(2)的条件下,求f(2)的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x
2
+(a+1)x+lg|a+2|(a∈R,且a≠-2).
(1)写出一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x),使f(x)=g(x)+h(x);
(2)对(1)中的g(x).命题P:函数f(x)在区间[(a+1)
2
,+∞)上是增函数;命题Q:函数g(x)是减函数;如果命题P、Q有且仅有一个是真命题,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,求f(2)的取值范围.
试题解答
见解析
解:(1)由题意可得 h(x)=x
2
+lg|a+2|; g(x)=(a+1)x.
(2)由二次函数f(x))=x
2
+(a+1)x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线,且的对称轴为 x=-
a+1
2
,
在区间[(a+1)
2
,+∞)上是增函数,故有 -
a+1
2
≤(a+1)
2
,解得a≤-
3
2
或a≥-1,因为a≠-2.
由函数g(x)是减函数得a+1<0,解得a<-1,a≠-2.
当命题P真且命题Q假时,由
{
a≤-
3
2
,或a≥-1
a≥-1
a≠-2
,解得a≥-1.
当命题P假且命题Q真时,由
{
-
3
2
<a<-1
a<-1
a≠-2
,即得-
3
2
<a<-1.
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题,得a的取值范围是[-1,+∞)∪(-
3
2
,-1)=(-
3
2
,+∞).
(3)f(2)=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg(a+2),因为在a∈(-
3
2
,+∞)上递增,
所以,f(2)>6+2?(-
3
2
)+lg(-
3
2
+2)=3-lg2,即:f(2)∈(3-lg2,+∞).
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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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第1章 集合
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集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
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