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  • 已知函数F(x)=kx2-2√4+2m-m2x，G(x)=-√1-(x-k)2(m，k∈R)（1）若m，k是常数，问当m，k满足什么条件时，函数F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值时x的值；（2）是否存在实数对（m，k）同时满足条件：（甲）F（x）取最大值时x的值与G（x）取最小值的x值相同，（乙）k∈Z？（3）把满足条件（甲）的实数对（m，k）的集合记作A，设B={（m，k）|k2+（m-1）2≤r2，r＞0}，求使A?B的r的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数F(x)=kx2-2
      √4+2m-m2
      x，G(x)=-
      √1-(x-k)2
      (m，k∈R)
      （1）若m，k是常数，问当m，k满足什么条件时，函数F（x）有最大值，并求出F（x）取最大值时x的值；
      （2）是否存在实数对（m，k）同时满足条件：（甲）F（x）取最大值时x的值与G（x）取最小值的x值相同，（乙）k∈Z？
      （3）把满足条件（甲）的实数对（m，k）的集合记作A，设B={（m，k）|k      2+（m-1）2≤r2，r＞0}，求使A?B的r的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数F(x)=kx2-2
      √4+2m-m2
      x，
      ∴当
      {
      k＜0
      4+2m-m2≥0
      时，
      解得k＜0且1-
      √5
      ≤m≤1+
      √5
      ；
      即当x=
      √4+2m-m2
      k
      时，F（x）有最大值．
      （2）∵函数F(x)=kx      2-2
      √4+2m-m2
      x，
      当x=
      √4+2m-m2
      k
      时，F（x）有最大值；
      函数G（x）=-
      √1-(x-k)2
      ，
      x=k时，G（x）有最小值；
      ∴
      √4+2m-m2
      k
      =k，得4+2m-m2=k4，
      ∴k      4+（m-1）2=5，其中k为负整数，
      当k=-1时，m=-1或者3，
      ∴存在实数对（3，-1），（-1，-1）满足条件．
      （3）由条件A?B知，
      当k      4+（m-1）2=5成立时，k2+（m-1）2≤r2恒成立，
      因此，      r2≥-k4+k2+5=-(k2-
      1
      2
      )2+
      21
      4
      恒成立，
      当      k2=
      1
      2
      时，右边取得最大值
      21
      4
      ，
      因此      r2≥
      21
      4
      ，
      ∵r＞0，
      ∴r≥
      √21
      2
      ；
      ∴r的取值范围是{r|r≥
      √21
      2
      }．
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