设函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx，在区间[-2，2]上是单调函数，则实数k的取值范围；（3）在（1）的条件下，F(x)={f(x) (x＞0)-f(x) (x＜0)，当x∈[-2，2]且x≠0时，求F（x）的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f（x）=ax²+bx+1（a，b为实数），
（1）若f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立，求f（x）表达式；
（2）在（1）的条件下，若g（x）=f（x）-kx，在区间[-2，2]上是单调函数，则实数k的取值范围；
（3）在（1）的条件下，F(x)=

{	f(x) (x＞0) -f(x) (x＜0)

，当x∈[-2，2]且x≠0时，求F（x）的值域．

见解析

解：（1）当a=0时，f（x）=bx+1，当f（-1）=0，即-b+1=0时，f（x）=x+1，不符合题意．
所以a≠0．
∵f（-1）=0且对任意实数x均有f（x）≥0成立
∴点（-1，0）为抛物线的顶点且开口向上．
∴

{

=-1

b²-4a=0

解得

{

a=1

b=2

，
∴f（x）=x²+2x+1．
（2）g（x）=x²+（2-k）x+1
依题意有：-

2-k

≤-2或-

2-k

≥2
∴k≤-2或k≥6
（3）在[-2，0）上，F（x）=-x²-2x-1=-（x+1）²∈[-1，0]
在（0，2]上，F（x）=（x+1）²∈（1，9]
∴F（x）值域为[-1，0]∪（1，9]．

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