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  • 已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2．（1）试求函数f（x）的最大值和最小值；（2）试比较f（12n）与12n+2（n∈N）的大小．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）的定义域为[0，1]，且同时满足①f（1）=3；②f（x）≥2恒成立，③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）-2．
      （1）试求函数f（x）的最大值和最小值；
      （2）试比较f（
      1
      2n
      ）与
      1
      2n
      +2（n∈N）的大小．

      试题解答

      见解析
      解：（1）设0≤x1＜x2≤1，则必存在实数t∈（0，1），使得x2=x1+t，
      由条件③得，f（x      2）=f（x1+t）≥f（x1）+f（t）-2，
      ∴f（x      2）-f（x1）≥f（t）-2，
      由条件②得，f（x      2）-f（x1）≥0，
      故当0≤x≤1时，有f（0）≤f（x）≤f（1）．
      又在条件③中，令x      1=0，x2=1，得f（1）≥f（1）+f（0）-2，
      即f（0）≤2，∴f（0）=2，
      故函数f（x）的最大值为3，最小值为2．
      （2）在条件③中，令      x1=x2=
      1
      2n
      ，得f(
      1
      2n-1
      )≥2f(
      1
      2n
      )-2，
      即f(
      1
      2n
      )-2≤
      1
      2
      [f(
      1
      2n-1
      )-2]，
      故当n∈N*时，有f(
      1
      2n
      )-2≤
      1
      2
      [f(
      1
      2n-1
      )-2]≤
      1
      22
      [f(
      1
      2n-2
      )-2]≤…≤
      1
      2n
      [f(
      1
      20
      )-2]=
      1
      2n
      ，
      即f(
      1
      2n
      )≤
      1
      2n
      +2．
      又f(
      1
      20
      )=f(1)=3≤
      1
      20
      +2，
      所以对一切n∈N，都有f(
      1
      2n
      )≤
      1
      2n
      +2．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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