设函数f(x)=2x-12x+1(x∈R)，g(x)=x+4x-299（x∈（0，2]）（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数，g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数；（Ⅱ）若f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，求实数m的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

设函数f(x)=

2^x-1

2^x+1

(x∈R)，g(x)=x+

（x∈（0，2]）
（Ⅰ）求证：f（x）是奇函数，g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数；
（Ⅱ）若f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，求实数m的取值范围．

见解析

（Ⅰ）证明：x∈R，f(-x)=

2^-x-1

2^-x+1

1-2^x

1+2^x

=-f(x)，所以f（x）是奇函数．…（3分）
?x₁，x₂∈（0，2]，当0＜x₁＜x₂≤2，g(x₁)-g(x₂)=(x₁-x₂)

x₁x₂-4

x₁x₂

，
因为0＜x₁＜x₂≤2，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＜4，∴

x₁x₂-4

x₁x₂

＜0，
∴g(x₁)-g(x₂)=(x₁-x₂)

x₁x₂-4

x₁x₂

＞0，故有g（x₁）＞g（x₂），
所以g（x）在区间（0，2]上是单调递减函数．…（8分）
（Ⅱ）f（m）＜g（x）对任意x∈（0，2]恒成立，只需f（m）＜g_min（x），即

2^m-1

2^m+1

＜g(2)=

，
∵2^m+1＞0，
∴整理得2^m＜8，可得 m＜3，即实数m的取值范围为（-∞，3）．…（13分）

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