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设函数f(x)=23x+5+lg3-2x3+2x,(1)求函数f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;(3)已知函数f(x)的反函数f-1(x),问函数y=f-1(x)的图象与x轴有交点吗?若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
设函数f(x)=
2
3x+5
+lg
3-2x
3+2x
,
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的单调性,并给出证明;
(3)已知函数f(x)的反函数f
-1
(x),问函数y=f
-1
(x)的图象与x轴有交点吗?若有,求出交点坐标;若无交点,说明理由.
试题解答
见解析
解:(1)由3x+5≠0且
3-2x
3+2x
>0,解得x≠-
5
3
且-
3
2
<x<
3
2
.取交集得-
3
2
<x<
3
2
.
(2)令μ(x)=3x+5,随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数;
3-2x
3+2x
=-1+
6
3+2x
随着x增大,函数值减小,所以在定义域内是减函数.
又y=lgx在定义域内是增函数,根据复合函数的单调性可知,y=lg
3-2x
3+2x
是减函数,所以f(x)=
2
3x+5
+lg
3-2x
3+2x
是减函数.
(3)因为直接求f(x)的反函数非常复杂且不易求出,于是利用函数与其反函数之间定义域与值域的关系求解.
设函数f(x)的反函数f
-1
(x)与x轴的交点为(x
0
,0).根据函数与反函数之间定义域与值域的关系可知,f(x)与y轴的交点是(0,x
0
),将(0,x
0
)代入f(x),解得x
0
=
2
5
.
所以函数y=f
-1
(x)的图象与x轴有交点,交点为(
2
5
,0).
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必修1
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单选题
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数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;集合的相等;元素与集合关系的判断;子集与真子集
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