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  • 已知函数f（x）={x+12，x∈[0，12)2x-1，x∈[12，2)若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=
      {
      x+
      1
      2
      ，x∈[0，
      1
      2
      )
      2x-1，x∈[
      1
      2
      ，2)
      若存在x1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2），则x1f（x2）的取值范围是          ．

      试题解答

      [
      2-
      √2
      4
      ，
      1
      2
      ）
      解：作出函数f(x)=
      {
      x+
      1
      2
      ，x∈[0，
      1
      2
      )
      2x-1，x∈[
      1
      2
      ，2)
      的图象：
      ∵存在x      1，x2，当0≤x1＜x2＜2时，f（x1）=f（x2）
      ∴0≤x      1＜
      1
      2

      ∵x+
      1
      2
      在[0，
      1
      2
      ）上的最小值为
      1
      2
      ；2x-1在[
      1
      2
      ，2）的最小值为
      √2
      2

      ∴x      1+
      1
      2
      ≥
      √2
      2
      ，x1≥
      √2
      - 1
      2

      ∴
      √2
      - 1
      2
      ≤x1＜
      1
      2

      ∵f（x      1）=x1+
      1
      2
      ，f（x1）=f（x2）
      ∴x      1f（x2）=x1f（x1）=x12+
      1
      2
      x1
      令y=      x12+
      1
      2
      x1（
      √2
      - 1
      2
      ≤x1＜
      1
      2
      ）
      ∴y=      x12+
      1
      2
      x1为开口向上，对称轴为x=-
      1
      4
      的抛物线
      ∴y=      x12+
      1
      2
      x1在区间[
      √2
      - 1
      2
      ，
      1
      2
      ）上递增
      ∴当x=
      √2
      - 1
      2
      时y=
      2-
      √2
      4

      当x=
      1
      2
      时y=
      1
      2

      ∴y∈[
      2-
      √2
      4
      ，
      1
      2
      ）
      即x      1f（x2）的取值范围为[
      2-
      √2
      4
      ，
      1
      2
      ）
      故答案为[
      2-
      √2
      4
      ，
      1
      2
      ）
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