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  • （2010?海沧区质检）如图，正方形ABCD的边长为2√2，E是边AD上的一个动点（不与A重合），BE交对角线于F，连接DF．（1）求证：BF=DF；（2）设AF=x，△ABF面积为y，求y与x的函数关系式，并画出图象．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      （2010?海沧区质检）如图，正方形ABCD的边长为2
      √2
      ，E是边AD上的一个动点（不与A重合），BE交对角线于F，连接
      DF．
      （1）求证：BF=DF；
      （2）设AF=x，△ABF面积为y，求y与x的函数关系式，并画出图象．

      试题解答

      见解析
      （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
      ∴∠BAC=∠DAC=45°，AB=AD，
      在△ABF和△ADF中，
      ∵
      {
      AB=AD
      ∠BAC=∠DAC
      AF=AF
      ，
      ∴△ABF≌△ADF（SAS），
      ∴BF=DF；

      （2）解：如图，过点F作FM⊥AB，
      ∵∠BAC=45°（正方形的对角线平分一组对角），
      ∴FM=
      √2
      2
      AF=
      √2
      2
      x，
      ∴y=
      1
      2
      AB?FM=
      1
      2
      ×2
      √2
      ×
      √2
      2
      x=x，
      ∵E是边AD上的一个动点，
      ∴AF的最大值为
      1
      2
      AC=
      1
      2
      ×
      √2
      AB=
      1
      2
      ×
      √2
      ×2
      √2
      =2，
      ∴自变量的取值范围是0＜x≤2，
      故y与x的函数关系式为y=x（0＜x≤2），图象如图．
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