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  • 据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，当勾=3时，股4=（9-1），弦5=（9+1）；当勾=5时，股12=（25-1），弦13=（25+1）；------请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾 、股 、弦 ，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；（2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
      （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
      当勾=3时，股4=      （9-1），弦5=（9+1）；
      当勾=5时，股12=      （25-1），弦13=（25+1）；
      ------
      请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾       、股　 、弦　 ，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
      （2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

      试题解答

      见解析
      （1）∵（9-1）=4，（9+1）=5；（25-1）=12，（25+1）=13；
      ∴7，24，25的股的算式为      （49-1）=（72-1）
      弦的算式为      （49+1）=（72+1）；
      当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，      （n2-1），（n2+1）．
      例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾      2+股2=弦2，
      证明关系式①：弦-股=      （n2+1）-（n2-1）=[（n2+1）-（n2-1）]=1
      或证明关系式②：勾      2+股2=n2+[（n2-1）]2=n4+n2+=（n2+1）2=弦2∴猜想得证；

      （2）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：      ，．
      另加分问题，
      例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
      即上一组为：n，      （n2-1），-（n2+1）（n为奇数且n≥3），
      分别记为：A      1、B1、C1，
      下一组为：n+2，      [（n+2）2-1]，[（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3），
      分别记为：A      2、B2、C2，
      则：A      1+B1+A2=n+（n2-1）+（n+2）=（n2+4n+3）=[（n+2）2-1]=B2．
      或B      1+C2=B2+C1（证略）等等．
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      八年级上册华师大版解答题初二数学

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