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  • 菱形ABCD中，如果√3AB2=BD?AC，则∠ABC的度数是（ ）试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      菱形ABCD中，如果
      √3
      AB2=BD?AC，则∠ABC的度数是（　　）

      试题解答

      C
      解：设AB=a，
      ∵四边形ABCD是菱形，
      ∴AC⊥BD，OA=
      1
      2
      AC，OB=
      1
      2
      BD，
      ∴在Rt△AOB中，OA      2+OB2=AB2=a2，
      ∵
      √3
      AB2=BD?AC=4OA?OB=
      √3
      a2，
      ∴OA?OB=
      √3
      4
      a2，
      ∴（OA+OB）      2=OA2+OB2+2OA?OB=a2+
      √3
      2
      a2=
      2+
      √3
      2
      a2，
      ∴OA+OB=
      1+
      √3
      2
      a，
      ∴OA，OB是方程：x      2-
      1+
      √3
      2
      ax+
      √3
      4
      a=0的解，
      解得：x      1=
      1
      2
      ，x2=
      √3
      2
      a，
      当OA=
      1
      2
      a时，sin∠ABO=
      OA
      AB
      =
      1
      2
      ，
      ∴∠ABO=30°，
      ∴∠ABC=2∠ABO=60°；
      当OA=
      √3
      2
      a时，sin∠ABO=
      OA
      AB
      =
      √3
      2
      ，
      ∴∠ABO=60°，
      ∴∠ABC=2∠ABO=120°．
      ∴∠ABC的度数是：60°或120°．
      故选C．
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      九年级上册北师大版单选题初三数学

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