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  • 已知函数f(x)=x+ax，且f（1）=3．（1）求a的值，并确定函数f（x）的定义域；（2）用定义研究函数f（x）在（0，+∞）范围内的单调性；（3）当x∈[-4，-1]时，求出函数f（x）的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      a
      x
      ，且f（1）=3．
      （1）求a的值，并确定函数f（x）的定义域；
      （2）用定义研究函数f（x）在（0，+∞）范围内的单调性；
      （3）当x∈[-4，-1]时，求出函数f（x）的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵函数f(x)=x+
      a
      x
      ，且f（1）=3；
      ∴1+a=3，得a=2；
      ∴f（x）=x+
      2
      x
      ，
      定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
      （2）任取0＜x      1＜x2，
      则f（x      1）-f（x2）=（x1+
      2
      x1
      ）-（x2+
      2
      x2
      ）
      =（x      1-x2）+（
      2
      x1
      -
      2
      x2
      ）
      =（x      1-x2）（1-
      2
      x1x2
      ）
      =（x      1-x2）
      x1x2-2
      x1x2
      ，
      ∵x      1-x2＜0，且x1x2＞0；
      ∴当0＜x      1＜x2＜
      √2
      时，f（x1）-f（x2）＞0，
      即f（x      1）＞f（x2），f（x）是减函数；
      当
      √2
      ＜x1＜x2时，f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），f（x）是增函数；
      ∴函数f（x）在(0，
      √2
      )上是单调减函数，在(
      √2
      ，+∞)上是单调增函数；
      （3）由（2）及f（x）是奇函数知，
      函数f（x）在[-4，-
      √2
      ]上是增函数，在[-
      √2
      ，-1]上是减函数，
      故当x∈[-4，-1]时，f(x)      max=f(-
      √2
      )=-2
      √2
      ，f(x)min={f(-4)，f(-1)}={-
      9
      2
      ，-3}=-
      9
      2
      ，
      ∴当x∈[-4，-1]时，f（x）的取值范围是[-
      9
      2
      ，-2
      √2
      ]．
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