已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3?2sinx=0成立．（1）试求f（x）的解析式；（2）判断f（x）在[-π2，π2]的单调性，并用单调性定义予以证明；（3）若f(x)=3√22，求满足条件的所有实数x的集合．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知y=f（x）的定义域为R，且对任意的实数x，恒有等式2f（x）+f（-x）-3?2^sinx=0成立．
（1）试求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）在[-

，

]的单调性，并用单调性定义予以证明；
（3）若f(x)=

√2

，求满足条件的所有实数x的集合．

试题解答

见解析

解：（1）∵2f（x）+f（-x）-3?2^sinx=0，
∴2f（-x）+f（x）-3?2^sin（-x）=0，
联立消去f（-x），可得f(x)=2^1+sinx-

2^sinx

；
（2）f（x）在[-

，

]上单调递增，
证明：任意x₁，x₂∈[-

，

]，设x₁＜x₂，则
f(x₁)-f(x₂)=(2^1+sinx₁-

2^sinx₁

)-(2^1+sinx₂-

2^sinx₂

)=2(2^sinx₁-2^sinx₂)+(

2^sinx₂

2^sinx₁

)=(2^sinx₁-2^sinx₂)(2+

2^{sinx₁+sinx₂}

)
因为x₁，x₂∈[-

，

]，所以sinx₁＜sinx₂，
所以2^sinx₁＜2^sinx₂，又2^{sinx₁+sinx₂}＞0，
所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以f（x）在[-

，

]上单调递增．
（3）由（2）过程容易知道，f（x）在[

，

3π

]上单调递减，
又f（x）=f（x+2π），所以f（x）是最小正周期为2π的周期函数．
设t=2^sinx，则t∈（0，2]，由2t-

√2

，解得t=

√2

或t=-

√2

（舍）．
所以2^sinx=

√2

=2^1
2，sinx=log₂2^1
2=

，
故x=

+2kπ，k∈Z，或x=

5π

+2kπ，k∈Z．
故满足条件的所有实数x的集合为{x|x=

+2kπ，或x=

5π

+2kπ，k∈Z}．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集相关试题