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  • 已知函数f(x)=x+ax(a＞0)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax2-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），证明f（x）在（0，√2]上是单调递减函数．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=x+
      a
      x
      (a＞0)．（1）若不等式f（x）＜b的解集是（1，3），求不等式ax2-bx+1＜0的解集；（2）若f（1）=f（2），证明f（x）在（0，
      √2
      ]上是单调递减函数．

      试题解答

      见解析
      解：（1）∵不等式f（x）＜b的解集是（1，3）即x+
      a
      x
      ＜b的解集为（1，3）
      ∴x=1，x=3是x+
      a
      x
      =b 的根，
      ∴a=3，b=4
      ∴ax      2-bx+1=3x2-4x+1＜0的解集为{x|
      1
      3
      ＜x＜1}
      （2）由f（1）=f（2）可得，1+a=2+
      a
      2

      ∴a=2，f（x）=x+
      2
      x

      设0＜x      1＜x2≤
      √2

      则f（x      1）-f（x2）=x1+
      2
      x1
      -x2-
      2
      x2
      =（x1-x2）+
      2(x2-x1)
      x1x2

      =
      (x1-x2)(x1x2-2)
      x1x2

      ∵0＜x      1＜x2≤
      √2
      ∴x1x2＞0，x1-x2＜0，x1x2-2＜0
      ∴f（x      1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
      ∴函数f（x）=x+
      2
      x
      在（0，
      √2
      ]单调递减
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