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讨论函数f（x）=ax1-x2（-1＜x＜1，a∈R）的单调性．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

讨论函数f（x）=

ax

1-x²

（-1＜x＜1，a∈R）的单调性．

试题解答

见解析

解：当a＞0时，f（x）在（-1，1）是减函数，
当a＜0时，f（x）在（-1，1）上是增函数，
当a=0时，f（x）在（-1，1）上不具有单调性．
证明如下：
设-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x1）-f（x2）=

ax₁

1-x₁²

-

ax₂

1-x₂²

=

a(x₂-x₁)(x₁x₂+1)

(x₂²-1)(x₁²-1)

，
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，x₁²-1＜0，x₂²-1＜0
∴

(x₁ x₂+1)(x₂-x₁)

(x₂²-1)(x₁²-1)

＞0，
∴当a＞0时，f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在（-1，1）是减函数，
当a＜0时，f（x₁）＜f（x₂），∴f（x）在（-1，1）上是增函数，
当a=0时，f（x）=0，∴f（x）在（-1，1）上不具有单调性．

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必修1 人教A版单选题高中数学

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