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已知函数f(x)=x+1x+1,g(x)=ax+5-2a(a>0).(Ⅰ)判断函数f(x)在[0,1]上的单调性,并用定义加以证明;(Ⅱ)若对任意m∈[0,1],总存在m0∈[0,1],使得g(m0)=f(m)成立,求实数a的取值范围.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已知函数f(x)=x+
1
x+1
,g(x)=ax+5-2a(a>0).
(Ⅰ)判断函数f(x)在[0,1]上的单调性,并用定义加以证明;
(Ⅱ)若对任意m∈[0,1],总存在m
0
∈[0,1],使得g(m
0
)=f(m)成立,求实数a的取值范围.
试题解答
见解析
解:(Ⅰ)函数f(x)在[0,1]上的单调递增,
证明如下:设0≤x
1
<x
2
≤1,
则
f
1
(x)-f
2
(x)=x
1
+
1
x
1
+1
-x
2
-
1
x
2
+1
=(x
1
-x
2
)+
x
2
-x
1
(x
1
+1)(x
2
+1)
=
(x
1
-x
2
)(x
1
x
2
+x
1
+x
2
)
(x
1
+1)(x
2
+1)
,
∵(x
1
-x
2
)<0,(x
1
+1)(x
2
+1)>0,(x
1
x
2
+x
1
+x
2
)>0,
∴f
1
(x)-f
2
(x)<0,即f
1
(x)<f
2
(x),
∴函数f(x)在[0,1]上的单调递增.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当m∈[0,1]时,f(m)∈[1,
3
2
],
∵a>0,g(x)=ax+5-2a在[0,1]上的单调递增,
∴m
0
∈[0,1]时,g(m
0
)∈[5-2a,5-a].
依题意,只需[1,
3
2
]?[5-2a,5-a],
∴
{
5-2a≤1
5-a≥
3
2
,
解得2≤a≤
7
2
,
即 实数a的取值范围[2,
7
2
].
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