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已???函数f(x)=x+1-aa-x(a∈R且x≠a).(Ⅰ)求证:f(x)+f(2a-x)=-2对定义域内的所有x都成立;(Ⅱ)当f(x)的定义域为[a+12,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2];(Ⅲ)设函数g(x)=x2+|(x-a)?f(x)|,当a=-1时,求g(x)的最小值.试题及答案-单选题-云返教育
试题详情
已???函数f(x)=
x+1-a
a-x
(a∈R且x≠a).
(Ⅰ)求证:f(x)+f(2a-x)=-2对定义域内的所有x都成立;
(Ⅱ)当f(x)的定义域为[a+
1
2
,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2];
(Ⅲ)设函数g(x)=x
2
+|(x-a)?f(x)|,当a=-1时,求g(x)的最小值.
试题解答
见解析
证明:(Ⅰ)f(x)+f(2a-x)=-2可转化为:
x+1-a
a-x
+2+
a-x+1
x-a
=
x+1-a+2a-2x-a+x-1
a-x
=0
与x取值无关
∴f(x)+f(2a-x)=-2对定义域内的所有x都成立;
(Ⅱ)证明:
a+
1
2
≤x≤a+1时, -a-1≤-x≤-a-
1
2
-1≤a-x≤-
1
2
,-2≤
1
a-x
≤-1
f(x)值域为[-3,-2]-3≤-1+
1
a-x
≤-2
(Ⅲ)解:当a=-1时,g(x)=x
2
+|x|(x≠-1)
(ⅰ)当x≥0时,g(x)=(x+
1
2
)
2
-
1
4
则函数g(x)在[0,+∞)上单调递增,
g(x)
min
=g(0)=0
(ⅱ)当x≤0时,g(x)=(x-
1
2
)
2
-
1
4
则函数g(x)在(-∞,0]且x≠-1时单调递减,
g(x)
min
=g(0)=0
综合得:当x≠-1时,g(x)的最小值是0.
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单选题
高中
数学
集合的包含关系判断及应用;集合的表示法;集合的分类;集合的含义;集合的确定性、互异性、无序性;元素与集合关系的判断;子集与真子集
相关试题
已???函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)={f(x)(x>0)-f(x)(x<0)(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式;(2)在(1)的条件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围.?
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第1章 集合
1.1 集合的含义与表示
集合的表示法
集合的分类
集合的含义
集合的确定性、互异性、无序性
元素与集合关系的判断
第3章 指数函数和对数函数
3.1 正整数指数函数
正整数指数函数
第4章 函数应用
4.1 函数与方程
二分法的定义
二分法求方程的近似解
根的存在性及根的个数判断
函数的零点
函数的零点与方程根的关系
函数零点的判定定理
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