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  • 已知函数f（x）=x|x-a|+2x．（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；（3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=x|x-a|+2x．
      （1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
      （2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
      （3）若存在a∈[-4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）f(x)=x|x-a|+2x=
      {
      x2+(2-a)x，x≥a
      -x2+(2+a)x，x＜a

      由f（x）在R上是增函数，则
      {
      a≥-
      2-a
      2
      a≤
      2+a
      2
      即-2≤a≤2，则a范围为-2≤a≤2；（4分）
      （2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，
      即x|x-a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即|x-a|＜
      1
      x
      ，-
      1
      x
      ＜x-a＜
      1
      x
      ，x-
      1
      x
      ＜a＜x+
      1
      x
      ，故只要x-
      1
      x
      ＜a且a＜x+
      1
      x
      在x∈[1，2]上恒成立即可，
      在x∈[1，2]时，只要x-
      1
      x
      的最大值小于a且x+
      1
      x
      的最小值大于a即可，（6分）
      而当x∈[1，2]时，(x-
      1
      x
      )′=1+
      1
      x2
      ＞0，x-
      1
      x
      为增函数，(x-
      1
      x
      )max=
      3
      2
      ；
      当x∈[1，2]时，(x+
      1
      x
      )′=1-
      1
      x2
      ＞0，x+
      1
      x
      为增函数，(x+
      1
      x
      )min=2，
      所以
      3
      2
      ＜a＜2；（10分）
      （3）当-2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）
      则当a∈（2，4]时，由f(x)=
      {
      x2+(2-a)x，x≥a
      -x2+(2+a)x，x＜a
      得x≥a时，f（x）=x2+（2-a）x对称轴x=
      a-2
      2
      ＜a，
      则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=-x      2+（2+a）x对称轴x=
      a+2
      2
      ＜a，
      则f（x）在x∈(-∞，
      a+2
      2
      ]为增函数，此时f（x）的值域为(-∞，
      (a+2)2
      4
      ]，f（x）在x∈[
      a+2
      2
      ，a)为减函数，此时f（x）的值域为(2a，
      (a+2)2
      4
      ]；
      由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则2ta∈(2a，
      (a+2)2
      4
      )，
      即存在a∈（2，4]，使得t∈(1，
      (a+2)2
      8a
      )即可，令g(a)=
      (a+2)2
      8a
      =
      1
      8
      (a+
      4
      a
      +4)，
      只要使t＜（g（a））      max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，(g(a))max=g(4)=
      9
      8
      ，
      故实数t的取值范围为(1，
      9
      8
      )；（15分）
      同理可求当a∈[-4，-2）时，t的取值范围为(1，
      9
      8
      )；
      综上所述，实数t的取值范围为(1，
      9
      8
      )．（16分）
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