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  • 已知函数f（x）=log 12（ax2+3x+a+1）（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及最值；（2）对于x∈[1，2]，不等式（12）f（x）-3x≥2恒成立，求正实数a的取值范围．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f（x）=log
      1
      2
      （ax2+3x+a+1）
      （1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间及最值；
      （2）对于x∈[1，2]，不等式（
      1
      2
      ）f（x）-3x≥2恒成立，求正实数a的取值范围．

      试题解答

      见解析
      解：（1）当a=-1时，函数f（x）=log
      1
      2
      （-x2+3x）的定义域为（0，3），
      令t=-x      2+3x，则f（x）=log
      1
      2
      t，且-0＜x＜3．
      由二次函数的性质可得，函数t在（0，
      3
      2
      ]上是增函数，在[
      3
      2
      ，3）上是减函数．
      再根据复合函数的单调性规律可得函数f（x）的单调增区间为[
      3
      2
      ，3），减区间为（0，
      3
      2
      ]．
      由于当x=
      3
      2
      时，函数t取得最大值为
      9
      4
      ，故函数f（x）的最小值为log
      1
      2
      9
      4
      =2log
      1
      2
      3
      2
      ．
      （2）对于x∈[1，2]，不等式（
      1
      2
      ）f（x）-3x≥2恒成立，
      即 ax      2+a-1≥0恒成立，即a≥
      1
      x2+1
      恒成立．
      由于函数t=
      1
      x2+1
      在[1，2]上是减函数，故当x=1时，函数t=
      1
      x2+1
      在[1，2]上取得最大值为
      1
      2
      ，
      故a≥
      1
      2
      ，即正实数a的取值范围为[
      1
      2
      ，+∞）．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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