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  • 将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=(梯形的周长)2梯形的面积，则s的最小值是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      将边长为1m的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s=
      (梯形的周长)2
      梯形的面积
      ，则s的最小值是          ．

      试题解答

      32
      3
      √3
      解：设剪成的小正三角形的边长为x，则梯形的周长为3-x，
      梯形的面积为
      √3
      4
      (1-x2)，
      ∴s=
      (3-x)2
      √3
      4
      (1-x2)
      （0＜x＜1），
      （方法一）利用函数的导数求函数的最小值．
      令s（x）=
      (3-x)2
      √3
      4
      (1-x2)
      （0＜x＜1），则
      s'（x）=
      4
      √3
      ?
      (2x-6)?(1-x2)-(3-x2)?(-2x)
      (1-x2)2

      =
      4
      √3
      ?
      -2(3x-1)(x-3)
      (1-x2)2
      ，
      令s'（x）=0，∵0＜x＜1，∴x=
      1
      3
      ，
      当0＜x＜
      1
      3
      时，s'（x）＜0，当
      1
      3
      ＜x＜1时，s'（x）＞0，
      ∴x=
      1
      3
      时，s（x）取极小值，也为最小值，且为
      32
      3
      √3
      ．
      （方法二）利用函数的方法求最小值．
      令3-x=t（2＜t＜3），则x=3-t，
      s（x）=
      4
      √3
      ?
      t2
      1-(3-t)2
      =
      4
      √3
      ?
      1
      -
      8
      t2
      +
      6
      t
      -1

      =
      4
      √3
      ?
      1
      -8(
      1
      t
      -
      3
      8
      )2+
      1
      8
      ，
      ∵2＜t＜3，∴
      1
      3
      ＜
      1
      t
      ＜
      1
      2
      ，
      ∴当
      1
      t
      =
      3
      8
      即t=
      8
      3
      ，x=
      1
      3
      时，s（x）取最小值，且为
      32
      3
      √3
      ．
      故答案为：
      32
      3
      √3
      ．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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