已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x2．（1）求y=f（x）的解析式；（2）画出函数y=f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；（3）若函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[1b， 1a] (1≤a＜b)，求实数a、b的值．试题及答案-单选题-云返教育

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已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）画出函数y=f（x）的图象，并指出f（x）的单调区间及在每个区间上的增减性；
（3）若函数y=f（x）的定义域为[a，b]，值域为[

，

] (1≤a＜b)，求实数a、b的值．

见解析

解：（1）当x＜0时，-x＞0，∴f（x）=-f（-x）=-[2（-x）-（-x）²]=2x+x²（2分）
∴f（x）的解析式为 f(x)=

{	2x-x² (x≥0) 2x+x² (x＜0)

（4分）
（2）f（x）的图象如右图：f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上是减函数f（x）在[-1，1]上是增函数（9分）
（3）∵f（x）在[1，+∞）上是减函数，且1≤a＜b，∴f（x）在[a，b]上是减函数
∴

{

f(a)=

f(b)=

（10分）
即

{

2a-a²=

2b-b²=

（12分）?

{	(a-1)(a²-a-1)=0 (b-1)(b²-b-1)=0

，
解得

{

a=1 或 a=

1±

√5

b=1 或 b=

1±

√5

∵1≤a＜b，∴

{

a=1

√5

（13分）

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