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已知函数f(x)=a?2x+a-22x+1是奇函数．（1）求a的值；（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；（3）求函数的值域．试题及答案-单选题-云返教育

试题详情

已知函数f(x)=

a?2^x+a-2

2^x+1

是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）求函数的值域．

试题解答

见解析

解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，
∴a=1
（2）由（1）知f(x)=

2^x-1

2^x+1

=1-

2

2^x+1

，所以f（x）为增函数
证明：任取x₁＜x₂∈R
f（x₁）-f（x₂）=1-

2

2^x₁+1

-1+

2

2^x₂+1

=

2(2^x₁-2^x₂)

(2^x₁+1) (2^x₂+1)

∵x₁＜x₂∈R∴2^x₁＜2^x₂
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为R上的增函数．
（3）令y=

2^x-1

2^x+1

则2^x=

-1-y

y-1

而2^x＞0∴2^x=

-1-y

y-1

＞0
∴-1＜y＜1
所以函数f（x）的值域为（-1，1）

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必修1 人教A版单选题高中数学

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