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  • 函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（-1）=0，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则2010Σk=0f(k2)的值是 ．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，f（-1）=0，且对任意实数x都有xf（x+1）=（1+x）f（x），则2010Σk=0f(
      k
      2
      )的值是          ．

      试题解答

      0
      解：由xf（x+1）=（1+x）f（x），得-
      1
      2
      f(
      1
      2
      )=
      1
      2
      f(-
      1
      2
      )，
      又f（x）为偶函数，所以f(
      1
      2
      )=0，
      则
      1
      2
      f(
      3
      2
      )=
      3
      2
      f(
      1
      2
      )，所以f(
      3
      2
      )=0，以此类推，可得f（
      1
      2
      ）=f（
      3
      2
      ）=…=f（
      2009
      2
      ）=0，
      f（1）=f（-1）=0，
      所以1?f（2）=2f（1），所以f（2）=0，
      由2f（3）=3f（2），得f（3）=0，以此类推，可得f（1）=f（2）=f（3）=…=f（1005）=0，
      由0?f（1）=1?f（0），得f（0）=0，
      所以      2010Σk=0f(
      k
      2
      )=f（0）+f（
      1
      2
      ）+f（1）+f（
      3
      2
      ）+…+f（
      2009
      2
      ）+f（1005）=0，
      故答案为：0．
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      必修1人教A版单选题高中数学

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