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  • 已知函数f(x)=ax+bx，且f（1）=2，f(2)=52（1）求a、b的值；（2）判断函数f（x）的奇偶性；（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．试题及答案-单选题-云返教育

      • 试题详情

      已知函数f(x)=ax+
      b
      x
      ，且f（1）=2，f(2)=
      5
      2

      （1）求a、b的值；
      （2）判断函数f（x）的奇偶性；
      （3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．

      试题解答

      见解析
      解：（1）依题意有
      {
      f(1)=a+b=2
      f(2)=2a+
      b
      2
      =
      5
      2
      ，…（2分）
      得
      {
      a=1
      b=1
      …（4分）
      （2）f(x)=x+
      1
      x
      的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，…（5分）
      ∵f(-x)=-x-
      1
      x
      =-f(x)
      ∴函数f（x）为奇函数． …（7分）
      （3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
      设x      1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2…（8分）
      f(x1)-f(x2)=x1+
      1
      x1
      -x2-
      1
      x2
      =x1-x2+
      x2-x1
      x1x2
      =(x1-x2)(1-
      1
      x1x2
      )=
      (x1-x2)(x1x2-1)
      x1x2

      ∵x      1，x2∈（1，+∞）且x1???x2∴x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0…（12分）
      ∴f（x      1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）…（13分）
      ∴f（x）在（1，+∞）上是增函数． …（14分）
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