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  • 已知几何体A-BCD的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（I ）求此几何体的体积V：（II）若F是AE上的一点，且EF=3FA求证：DF∥平面ABC（III）试探究在棱DE上是否存在点使得AQ丄CQ，并说明理由．试题及答案-解答题-云返教育

      • 试题详情

      已知几何体A-BCD的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．
      （I ）求此几何体的体积V：
      （II）若F是AE上的一点，且EF=3FA求证：DF∥平面ABC
      （III）试探究在棱DE上是否存在点使得AQ丄CQ，并说明理由．

      试题解答

      见解析
      解：（I）由该几何体的三视图知AB⊥平面BCDE，且BE=BC=BA=4，DC=1
      ∴S      △BCD=
      1
      2
      ?（4+1）?4=10
      ∴V      A-BCD=
      1
      3
      ?S△BCD?AC=
      40
      3

      即该几何体的体积为
      40
      3

      （II）在BE上取一点G，使EG=3GB，连接DG，FG
      ∵EF=3FA
      ∴FG∥AB
      又CD=1=BG
      ∴GD∥BC
      ∵GF、GD、BA、BC分别是平面GFD，平面BAC内的两条相交直线
      ∴平面GFD∥平面BAC
      又FD?平面GFD
      ∴FD∥平面BAC
      （III）取BC的中点O，过O作OQ⊥DE于Q，则点Q满足条件，证明如下：
      连接E0，OD，BQ，AQ，CQ，在Rt△EBO和Rt△OCD中
      ∵
      EB
      BO
      =
      OC
      CD
      =2，
      ∴Rt△EBO∽Rt△OCD
      ∴∠EOB=∠ODC
      ∴∠EOD=90°
      又OE=
      √OB2+BE2
      =2
      √5
      ，
      OD=
      √OC2+CD2
      =
      √5
      ，ED=5
      ∴OQ=
      OE?OD
      ED
      =2
      ∴以O为圆心，以BC为直径的圆与DE相切于点Q
      ∴BQ⊥CQ
      又CQ⊥平面BCDE，CQ?平面BCDE
      ∴CQ⊥AB
      ∴CQ⊥平面ABQ
      又AQ?平面ABQ
      ∴CQ⊥AQ
      故在棱DE上存在点使得AQ丄CQ．
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      必修3湘教版解答题高中数学

    由三视图求面积、体积相关试题

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